Question

（12分）設(shè)命題p：{x|x²-4ax+3a²＜0}(a＞0), 

(1)如果a=1，且p∧q為真時，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)若¬p是¬q的充分不必要條件時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1)實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|2＜x≤3}. (2)實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|1＜a≤2}.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可知，命題p,q分別表示一元二次不等式的解集，然后利用且命題為真，得到實(shí)數(shù)x的取值范圍。

（2）根據(jù)¬p是¬q的充分不必要條件，表明q是p的充分不必要條件，利用集合的思想來求解得到。

(1) 當(dāng)a＞0時， {x|x²-4ax+3a²＜0}={x|(x-3a)(x-a)＜0}={x|a＜x＜3a}，如果a=1時，則x的取值范圍是{x|1＜x＜3}，而{x|x²-x-6≤0,且x²+2x-8＞0}={x|2＜x≤3}，

因?yàn)閜∧q為真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}.故實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|2＜x≤3}.

 (2) 若¬p是¬q的充分不必要條件，表明q是p的充分不必要條件.由(1)知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}(a＞0)的真子集，易知a≤2且3＜3a,解得{a|1＜a≤2}.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|1＜a≤2}.

考點(diǎn)：本試題主要考查了命題的真值的判定，以及充分條件的判定的運(yùn)用。

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是對于命題p,q的正確表示，尤其是含有參數(shù)的一元二次不等式不等式的求解，注意根的大小的確定解集，并利用數(shù)軸法來得到集合的包含關(guān)系進(jìn)而求解。