Question

偶函數(shù)，則關于x的方程上解的個數(shù)是（ ）
A．l
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是周期為4的是偶函數(shù)，在[0，2]上的表達式為，由此不難作出f（x）在[-2，6]上的圖象，再在同一坐標系內作出函數(shù)y=（）^x的圖象，觀察兩個圖象的交點個數(shù)，即得本題方程實數(shù)根的個數(shù)．
解答：解：∵當x∈[0，2]時，，
∴函數(shù)f（x）在x=0時，函數(shù)值有最大值f（0）=2cos0=2，
在x=2時，函數(shù)值有最小值f（2）=2cos=0．
由此作出函數(shù)f（x）在x∈[0，2]時的圖象，呈減函數(shù)趨勢如圖
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）在[-2，0]上的圖象與[0，2]上的圖象關于y軸對稱，如圖所示
∵函數(shù)f（x）滿足f（x-2）=f（x+2），∴函數(shù)f（x）是周期T=4的周期函數(shù)．
因此，將f（x）在[-2，2]上的圖象向右平移一個周期，得f（x）在[2，6]上的圖象
∴函數(shù)f（x）在[-2，6]上的圖象如右圖所示，是位于x軸上方的兩段余弦型曲線弧
在同一坐標系內作出函數(shù)y=（）^x的圖象，可得它經過點（0，1），呈減函數(shù)趨勢如圖
因為兩個圖象有4個交點，得關于x的方程f（x）=（）^x的實數(shù)根也有4個
故選D
點評：本題以一個關于x的方程根的個數(shù)討論為載體，考查了函數(shù)的單調性與奇偶性、基本初等函數(shù)圖象作法和函數(shù)的周期等知識點，屬于中檔題．