Question

過橢圓的左焦點F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點，若，則橢圓的離心率e=    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線為l，設(shè)A、B兩點在l上的射影分別為C、D，連接AC、BD，過點B作BG⊥AC利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，再結(jié)合直角△ABG中，∠BAG=60°，可求出邊之間的長度之比，可得離心率的值．
解答：解：如圖，設(shè)設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線為l，過A點作AC⊥l于C，
過點B作BD⊥l于D，再過B點作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=60°，所以AB=2AG，…①
由圓錐曲線統(tǒng)一定義得：，
∵
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中，AG=AC-BD=…②
①、②比較，可得AB=AC，
又∵
∴
答：所求的離心率為
點評：運用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，結(jié)合解含有60°的直角三角形，求橢圓的離心率，屬于幾何方法，運算量小，方便快捷．
本題還有設(shè)直線AB方程，與橢圓方程聯(lián)解，尋求a、b、c的一個關(guān)系式，再解一個關(guān)于離心率的方程，但是計算過程較為繁瑣，同學(xué)們不妨試試，加以比較．