Question

如圖1，游樂場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，其最低點(diǎn)離地面5米，如果以你從最低點(diǎn)登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，那么你與地面的距離y（m）隨時(shí)間x（min）變化的關(guān)系將如圖2所示（該圖象近似于y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，-π≤φ≤0）的圖象）．

（Ⅰ）求出y（m）和x（min）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)你第三次距離地面65米時(shí)，用了多少時(shí)間？
（Ⅲ）當(dāng)你登上摩天輪4分鐘后，你的朋友也在最低點(diǎn)登上摩天輪，請(qǐng)直接寫出你登上摩天輪多少分鐘后，第一次與你的朋友處在同一高度？

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)最大值和最小值求出A和b，根據(jù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求φ，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）令y=65，求得cos

π

12

x=-

1

2

，令

π

12

x分別取

2π

3

、

4π

3

、2π+

2π

3

，求得三個(gè)最小的正實(shí)數(shù)x的值，從而得出結(jié)論．
（Ⅲ）當(dāng)你登上摩天輪4分鐘后，求出你和你的朋友的高度．設(shè)t分鐘后，第一次與你的朋友處在同一高度，則有-40cos

π

12

t+45=-40cos

π

12

（4+t）+45，由此求得正實(shí)數(shù)t的最小值，即為所求．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得A=

85-5

2

=40，b=

85+5

2

=45，根據(jù)函數(shù)的周期為

2π

ω

=2×12=24，可得ω=

π

12

．
故函數(shù)的解析式為 y=40sin（

π

12

x+φ）+45．
再把點(diǎn)（0，5）代入可得 sinφ=-1，結(jié)合-π≤φ≤0，可得 φ=-

π

2

，
∴y=40sin（

π

12

x-

π

2

）+45=-40sin（

π

2

-

π

12

x）+45=-40cos

π

12

x+45．
（Ⅱ）在函數(shù)y=-40cos

π

12

x+45 中，令y=65，求得cos

π

12

x=-

1

2

，
令

π

12

x分別取

2π

3

、

4π

3

、2π+

2π

3

，
求得三個(gè)最小的正實(shí)數(shù)x的值分別為8、16、32，
故當(dāng)你第三次距離地面65米時(shí)，用了32（min）．
（Ⅲ）由題意可得，當(dāng)你登上摩天輪4分鐘后，你的高度為-40cos（

π

12

×4）+45=25（m），
你的朋友的高度為5m．
設(shè)t分鐘后，第一次與你的朋友處在同一高度，則有-40cos

π

12

t+45=-40cos

π

12

（4+t）+45，
即 cos

π

12

t=cos

π

12

（4+t），∴t的最小正值為10（min）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．