Question

（理）設(shè)函數(shù)f（x）=a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n），其中a_i、α_i（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）為已知實(shí)常數(shù)，x∈R．
下列關(guān)于函數(shù)f（x）的性質(zhì)判斷正確的命題的序號(hào)是

①②③④

．
①若f(0)=f(

π

2

)=0，則f（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；
②若f（0）=0，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
③若f(

π

2

)=0，則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
④當(dāng)f2(0)+f2(

π

2

)≠0時(shí)，若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=kπ（k∈Z）．

Answer 1

分析：對(duì)于②，先由f（0）=0，得出a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，要判斷函數(shù)為奇函數(shù)，只需驗(yàn)證f（-x）+f（x）=0；
對(duì)于③，先由f(

π

2

)=0，得出-a₁•cos（α₁）-a₂•cos（α₂）+…-a_n•cos（α_n）=0，要判斷函數(shù)為偶函數(shù)，只需驗(yàn)證f（-x）-f（x）=0；
對(duì)于①：由①知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由②知函數(shù)為偶函數(shù)，從而f（x）=0；
對(duì)于④：當(dāng)f2(0)+f2(

π

2

)≠0時(shí)，由f（x₁）=f（x₂）=0，得（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n），故可得結(jié)論．

解答：解：對(duì)于②：若f（0）=0，則f（0）=a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，
f（-x）+f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）+a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n）=cosx[a₁•sinα₁+a₂•sinα₂+…+a_n•sinα_n]=0，∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
對(duì)于③：若f(

π

2

)=0，則f（

π

2

）=a₁•sin（

π

2

+α₁）+a₂•sin（

π

2

+α₂）+…+a_n•sin（

π

2

+α_n）=-a₁•cos（α₁）-a₂•cos（α₂）+…-a_n•cos（α_n）=0，∴f（-x）-f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）-a₁•sin（x+α₁）-a₂•sin（x+α₂）-…-a_n•sin（x+α_n）=sinx[a₁•cosα₁+a₂•cosα₂+…+a_n•cosα_n]=0，∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
對(duì)于①：若f(0)=f(

π

2

)=0，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，也為偶函數(shù)，∴f（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；
對(duì)于④：當(dāng)f2(0)+f2(

π

2

)≠0時(shí)，若f（x₁）=f（x₂）=0，則f（x₁）=a₁•sin（x₁+α₁）+a₂•sin（x₁+α₂）+…+a_n•sin（x₁+α_n）=a₁•sin（x₂+α₁）+a₂•sin（x₂+α₂）+…+a_n•sin（x₂+α_n）=0，∴（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+
（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n），∴可得x₁-x₂=kπ（k∈Z）．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查新定義三角函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是一一判斷．