Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：的左右焦點(diǎn)．
（1）設(shè)橢圓C上的點(diǎn)到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)距離之和等于，寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)（1）中所得橢圓上的焦點(diǎn)F₂且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF₁的面積；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C 上的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PN，k_PN試探究k_PN•k_PN的值是否與點(diǎn)P及直線l有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點(diǎn)在橢圓上，橢圓C上的點(diǎn)到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)距離之和等于，求出幾何量，即可求得橢圓C的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用，即可求△ABF₁的面積；
（3）利用M，N，P在橢圓上，代入橢圓方程，兩方程相減，再計(jì)算k_PN•k_PN的值，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）由于點(diǎn)在橢圓上，所以（2分）
解得，（4分）
故橢圓C的方程為（5分）
（2）由（1）知橢圓C的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），|F₁F₂|=2
所以，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F₂且斜率為1的直線方程為y=x-1
將其代入，整理得3x²-4x=0，解得
當(dāng)x₁=0時(shí)，y₁=-1，當(dāng)時(shí)，
所以△ABF₁的面積：=（9分）
（3）過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)M（x，y），N（-x，-y），P（x，y），
∵M(jìn)，N，P在橢圓上，
∴
兩式相減得
又∵，
∴
故：k_PN•k_PN的值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，同時(shí)與直線l無(wú)關(guān)．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．