Question

已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足|

PA

|+|

BC

|=|

PB

|+|

AC

|=|

PC

|+|

AB

|，則點(diǎn)P是△ABC的（　�。�

• A、重心
• B、垂心
• C、內(nèi)心
• D、外心

Answer 1

分析：根據(jù)向量的減法分別用

PA

，

PB

，

PC

表示

BC

，

CA

，

AB

，利用數(shù)量積運(yùn)算和題意代入式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，證出OC⊥AB，同理可得OB⊥AC，OA⊥BC，即證出O是△ABC的垂心．

解答：解：設(shè)

PA

=

a

，

PB

=

b

，

PC

=

c

，則

BC

=

c

-

b

，

CA

=

a

-

c

，

AB

=

b

- 

a

．
由題可知滿足|

PA

|+|

BC

|=|

PB

|+|

AC

|=|

PC

|+|

AB

|，
∴|

a

|+|

c

-

b

|=|

b

|+|

a

-

c

|，
化簡(jiǎn)可得

c

•

b

=

a

•

c

，即（

b

-

a

）•

c

=0，
∴

OC

•

AB

=0，∴

AB

⊥

OC

，即OC⊥AB．
同理可得OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量在幾何中應(yīng)用，主要利用向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積進(jìn)行化簡(jiǎn)證明，特別證明垂直主要根據(jù)題意構(gòu)造向量利用數(shù)量積為零進(jìn)行證明．