Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求滿足$（1-\frac{1}{T_2}）（1-\frac{1}{T_3}）…（1-\frac{1}{T_n}）≥\frac{1009}{2016}$的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）由等差數(shù)列的求和公式，可得T_n，化簡不等式可得$\frac{n+1}{2n}≥\frac{1009}{2016}$，解不等式即可得到n的最大值．

解答 解：（1）∵當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+1+4S_n-1=5S_n，
∴S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=4a_n．
∵a₁=2，a₂=8，
∴a₂=4a₁，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，
∴${a_n}=2•{4^{n-1}}={2^{2n-1}}$．
（2）由（1）得：${log_2}{a_n}={log_2}{2^{2n-1}}=2n-1$，
∴T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=1+3+…+（2n-1）
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
即有$（1-\frac{1}{T_1}）（1-\frac{1}{T_2}）…（1-\frac{1}{T_n}）$=$（1-\frac{1}{2^2}）（1-\frac{1}{3^2}）…（1-\frac{1}{n^2}）$
=$\frac{{{2^2}-1}}{2^2}•\frac{{{3^2}-1}}{3^2}•\frac{{{4^2}-1}}{4^2}•…•\frac{{{n^2}-1}}{n^2}$
=$\frac{1•3•2•4•3•5•…•（n-1）（n+1）}{{{2^2}•{3^2}•{4^2}•…•{n^2}}}=\frac{n+1}{2n}$，
令$\frac{n+1}{2n}≥\frac{1009}{2016}$，解得n≤1008．
故滿足條件的最大正整數(shù)n的值為1008．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，以及不等式的解法，注意化簡整理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．