Question

11．把直線l：x+$\sqrt{3}$y=0繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，得到直線m，則直線m與圓x²+y²-4x+1=0的位置關(guān)系是（　　）

• A． 直線與圓相切
• B． 直線與圓相交但不過圓心
• C． 直線與圓相離
• D． 直線過圓心

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出已知直線的斜率，從而得到它的傾斜角，由此得到直線按題中的方法旋轉(zhuǎn)所得直線的斜率，進(jìn)而得到旋轉(zhuǎn)所得的直線方程．求出已知圓的圓心與半徑，算出圓心到旋轉(zhuǎn)所得直線的距離，將這個距離與圓的半徑比較大小，即可得到答案．

解答 解：∵直線x+$\sqrt{3}$y=0化成斜截式，得y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴直線x+$\sqrt{3}$y=0的斜率k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得直線的傾斜角150°，
因此，將直線繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后，得到的直線傾斜角為150°-30°=120°，
∴旋轉(zhuǎn)后的直線斜率為k'=tan120°=-$\sqrt{3}$，
可得旋轉(zhuǎn)后所得的直線方程為：y=-$\sqrt{3}$x，即$\sqrt{3}$x+y=0，
圓x²+y²-4x+1=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x-2）²+y²=3，
∴圓心為（2，0），半徑r=$\sqrt{3}$．
求得圓心到所得直線的距離d=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，恰好與半徑相等．
∴旋轉(zhuǎn)后所得的直線與圓的位置關(guān)系是相切．
故選：A．

點評 本題將直線繞原點旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)所得的直線與圓的位置關(guān)系．著重考查了直線的基本量與基本形式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．