根據(jù)向量數(shù)乘的定義，可以證明向量數(shù)乘有如下運算律：
（1）
 
；（2）
 
；（3）
 
．
分析：證明等式成立，把兩邊看成兩個向量，先證模相等，再證明方向也相同．
解答：解：（1）λ（μ
a
）=（λμ）
a
，（2）（λ+μ）
a
=λ
a
+μ
a
，（3）λ （
a
+
b
）=λ
a
+μ
b
．
證明：（1）若λ=0 或μ=0，或
a
=
0
，等式顯然成立．若λμ≠0，
a
≠
0
，
|λ（μ
a
）|=|λ||μ
a
|=|λ||μ||
a
|，|（λμ）
a
|=|λμ||
a
|=|λ||μ||
a
|，
即|λ（μ
a
）|=|（λμ）
a
|．若λ、μ同號，則等式兩邊都與
a
同向，若λ、μ異號，則等式兩邊都與
a
反向，
故 λ（μ
a
）與（λμ）
a
的模相同，方向相同，故這兩個向量相等．
（2）若λ=0 或μ=0，或
a
=
0
，等式顯然成立．若λμ≠0，
a
≠
0
，若λ和μ同號，
|（λ+μ）
a
|=|λ+μ||
a
|=（|λ|+|μ|）|
a
|，|λ
a
+μ
a
|=|λ
a
|+|μ
a
|=（|λ|+|μ|）|
a
|，
即|（λ+μ）
a
|=|λ
a
+μ
a
|，等式兩邊都與
a
同向，或都與
a
反向，故等式成立．
若λ和μ異號，當λ＞μ時，等式兩邊都與λ
a
同向，當λ＜μ時，等式兩邊都與λ
a
反向，
還可證明|（λ+μ）
a
|=|λ
a
+μ
a
|，故等式一定成立．
（3）當
a
，
b
中有一個等于零時，或λ=0或1時，等式顯然成立．
當
a
，
b
都不等于0且λ≠1，λ≠0，
當λ＞0且λ≠1時，如圖所示，設
OA
=
a
，
AB
=
b
，
OA1
=λ
a
，
A1B1
=λ
b
，
則
OB
=
a
+
b
，
OB1
=λ
a
+λ
b
，由作法知 
AB
∥
A1B1
，∴|
A1B1
|=λ|
AB
|，
∴|
OB1
|=λ|
OB
|，且
OB1
 與
OB
方向也相同，故有
OB1
=λ 
OB
，λ （
a
+
b
）=λ
a
+μ
b
 成立．
當λ＜0時，同理可證．
綜上，λ （
a
+
b
）=λ
a
+μ
b
 成立．
故答案為 λ（μ
a
）=（λμ）
a
、（λ+μ）
a
=λ
a
+μ
a
、λ （
a
+
b
）=λ
a
+μ
b
．
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點評：本題考查向量的數(shù)乘的定義及幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

出于應用方便和數(shù)學交流的需要，我們教材定義向量的坐標如下：取
e1
和
e2
為直角坐標第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據(jù)平面向量基本定理，對于該平面上的任意一個向量
a
，則存在唯一的一對實數(shù)λ，μ，使得
a
=λ
e1
+μ
e2
，我們就把實數(shù)對（λ，μ）稱作向量
a
的坐標．并依據(jù)這樣的定義研究了向量加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標運算公式．現(xiàn)在我們用
i
和
j
表示斜坐標系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜
i
，
j
＞=
π
3
，
（1）請你模仿直角坐標系xOy中向量坐標的定義方式，用向量
i
和
j
做基底向量定義斜坐標系x‘Oy’平面上的任意一個向量
a
的坐標；
（2）在（1）的基礎上研究斜坐標系x‘Oy’中向量的加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標運算公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

出于應用方便和數(shù)學交流的需要，我們教材定義向量的坐標如下：取數(shù)學公式和數(shù)學公式為直角坐標第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據(jù)平面向量基本定理，對于該平面上的任意一個向量數(shù)學公式，則存在唯一的一對實數(shù)λ，μ，使得數(shù)學公式=數(shù)學公式+μ數(shù)學公式，我們就把實數(shù)對（λ，μ）稱作向量數(shù)學公式的坐標．并依據(jù)這樣的定義研究了向量加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標運算公式．現(xiàn)在我們用數(shù)學公式和數(shù)學公式表示斜坐標系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜數(shù)學公式，數(shù)學公式＞=數(shù)學公式，
（1）請你模仿直角坐標系xOy中向量坐標的定義方式，用向量數(shù)學公式和數(shù)學公式做基底向量定義斜坐標系x‘Oy’平面上的任意一個向量數(shù)學公式的坐標；
（2）在（1）的基礎上研究斜坐標系x‘Oy’中向量的加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標運算公式．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

出于應用方便和數(shù)學交流的需要，我們教材定義向量的坐標如下：取
e1
和
e2
為直角坐標第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據(jù)平面向量基本定理，對于該平面上的任意一個向量
a
，則存在唯一的一對實數(shù)λ，μ，使得
a
=λ
e1
+μ
e2
，我們就把實數(shù)對（λ，μ）稱作向量
a
的坐標．并依據(jù)這樣的定義研究了向量加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標運算公式．現(xiàn)在我們用
i
和
j
表示斜坐標系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜
i
，
j
＞=
π
3
，
（1）請你模仿直角坐標系xOy中向量坐標的定義方式，用向量
i
和
j
做基底向量定義斜坐標系x‘Oy’平面上的任意一個向量
a
的坐標；
（2）在（1）的基礎上研究斜坐標系x‘Oy’中向量的加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標運算公式．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年遼寧省沈陽二中高一（下）期中數(shù)學試卷（必修4）（解析版） 題型：解答題

出于應用方便和數(shù)學交流的需要，我們教材定義向量的坐標如下：取和為直角坐標第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據(jù)平面向量基本定理，對于該平面上的任意一個向量，則存在唯一的一對實數(shù)λ，μ，使得=+μ，我們就把實數(shù)對（λ，μ）稱作向量的坐標．并依據(jù)這樣的定義研究了向量加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標運算公式．現(xiàn)在我們用和表示斜坐標系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜，＞=，
（1）請你模仿直角坐標系xOy中向量坐標的定義方式，用向量和做基底向量定義斜坐標系x‘Oy’平面上的任意一個向量的坐標；
（2）在（1）的基礎上研究斜坐標系x‘Oy’中向量的加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標運算公式．

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