如圖,直角坐標(biāo)系
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642587449.png)
中,一直角三角形
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642603462.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642634498.png)
,B、D在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642650262.png)
軸上且關(guān)于原點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642665293.png)
對稱,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642681314.png)
在邊
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642712390.png)
上,BD=3DC,△ABC的周長為12.若一雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642728311.png)
以B、C為焦點,且經(jīng)過A、D兩點.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240106427431774.png)
⑴ 求雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642728311.png)
的方程;
⑵ 若一過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642774556.png)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642790333.png)
為非零常數(shù))的直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642821250.png)
與雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642728311.png)
相交于不同于雙曲線頂點的兩點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642852384.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642868342.png)
,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642884688.png)
,問在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642650262.png)
軸上是否存在定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642930307.png)
,使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642946909.png)
?若存在,求出所有這樣定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642930307.png)
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由
試題分析:(1) 設(shè)雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642728311.png)
的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240106430551014.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643071837.png)
.
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643102545.png)
,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643118561.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643133427.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240106431641446.png)
3分
解之得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643180329.png)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643196565.png)
.
∴雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642728311.png)
的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642977601.png)
. 5分
(2) 設(shè)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642650262.png)
軸上存在定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643258498.png)
,使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642946909.png)
.
設(shè)直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642821250.png)
的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643305574.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643320900.png)
.
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642884688.png)
,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643336583.png)
.
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643352552.png)
① 6分
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643367622.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240106433831235.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642946909.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643414662.png)
.
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643430859.png)
. ② 8分
把①代入②,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643445963.png)
③ 9分
把
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643305574.png)
代入
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642977601.png)
并整理得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240106434921096.png)
其中
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643508532.png)
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643523406.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643523516.png)
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643539634.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240106435861246.png)
. 10分
代入③,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240106436011142.png)
,化簡得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643617516.png)
.當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643648474.png)
時,上式恒成立.
因此,在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642650262.png)
軸上存在定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010643008629.png)
,使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010642946909.png)
. 13分
點評:難題,曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題(1)求雙曲線方程時,應(yīng)用了雙曲線的定義及其幾何性質(zhì),難度不大,較為典型。(2)則在應(yīng)用韋達定理的基礎(chǔ)上,通過平面向量的坐標(biāo)運算,達到證明目的。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804082977.png)
,點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804113300.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804129309.png)
分別為雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804129336.png)
的左、右焦點,動點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804144313.png)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804160266.png)
軸上方.
(1)若點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804144313.png)
的坐標(biāo)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804191781.png)
是雙曲線的一條漸近線上的點,求以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804113300.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804129309.png)
為焦點且經(jīng)過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804144313.png)
的橢圓的方程;
(2)若∠
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804253625.png)
,求△
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804269475.png)
的外接圓的方程;
(3)若在給定直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804285487.png)
上任取一點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804285289.png)
,從點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804285289.png)
向(2)中圓引一條切線,切點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804331333.png)
. 問是否存在一個定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804347399.png)
,恒有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010804363666.png)
?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011530305782.png)
與圓心為D的圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240115303211713.png)
交于
A、
B兩點,則直線
AD與
BD的傾斜角之和為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
對于拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010922534525.png)
上任意一點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010922550333.png)
,點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010922566533.png)
都滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010922566579.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010922581283.png)
的取值范圍是____
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,線段
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711541396.png)
的兩個端點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711556300.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711572309.png)
分別分別在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711588266.png)
軸、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711603310.png)
軸上滑動,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711619504.png)
,點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711634399.png)
是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711541396.png)
上一點,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711681605.png)
,點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711634399.png)
隨線段
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711541396.png)
的運動而變化.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240107117441565.png)
(1)求點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711634399.png)
的軌跡方程;
(2)設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711775334.png)
為點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711634399.png)
的軌跡的左焦點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711822352.png)
為右焦點,過
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711775334.png)
的直線交
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711634399.png)
的軌跡于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711868412.png)
兩點,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711884568.png)
的最大值,并求此時直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010711900399.png)
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010536194283.png)
,0),直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010536209436.png)
與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標(biāo)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010536225402.png)
,則此雙曲線的方程是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
己知橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240104532151165.png)
的離心率為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010453247413.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010453262464.png)
是橢圓的左右頂點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010453278461.png)
是橢圓的上下頂點,四邊形
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010453293585.png)
的面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010453309464.png)
.
(1)求橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010453325313.png)
的方程;
(2)圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010453340399.png)
過
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010453356476.png)
兩點.當(dāng)圓心
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010453340399.png)
與原點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010453387292.png)
的距離最小時,求圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010453340399.png)
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010356182280.png)
的斜率為2且過拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010356197736.png)
的焦點F,又與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010356213310.png)
軸交于點A,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010356229292.png)
為坐標(biāo)原點,若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010356244549.png)
的面積為4,則拋物線的方程為:
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