如圖,直線ll:y=2x與直線l2:y=-2x之間的陰影區(qū)域(不含邊界)記為w,其左半部分記為w1,右半部分記為W2
(1)分別用不等式組表示w1和w2
(2)若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到l1,l2的距離之積等于4,求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(3)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線l與曲線C相交于Ml,M2兩點(diǎn),且與ll,l2如分別交于M3,M4兩點(diǎn).求證△OMlM2的重心與△OM3M4的重心重合.
【三角形重心坐標(biāo)公式:△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(xl,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的重心坐標(biāo)為(,)】

【答案】分析:(1)根據(jù)圖象可知W1是直線y=2x和y=-2x左半部分之間的點(diǎn)的集合,W2是y=2x和y=-2x左半部分之間的點(diǎn)的集合進(jìn)而可得答案.
(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式,根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到l1,l2的距離之積等于4,建立等式,求得x和y的關(guān)系式,即點(diǎn)P的軌跡方程.
(3)先看當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)設(shè)直線l的方程為x=a,進(jìn)而求得M1M2,M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo),判斷出△OM1M2,△OM3M4的重心坐標(biāo)都為(,0),再看
直線l1與x軸不垂直時(shí),設(shè)出直線l的方程與P的軌跡方程聯(lián)立,消去y,判別式大于0,設(shè)M1,M2的坐標(biāo),表示出x1+x2和y1+y2,設(shè)M3,M4的坐標(biāo)把直線y=2x和y=mx+n表示出x3和x4,求得x3+x4=x1+x2,進(jìn)而求得y3+y4=y1+y2,推斷出△OM1M2的重心與△OM3M4的重心重合.
解答:解:(1)由圖象可知,
(2)由題意知,×=4得=1,又P在W內(nèi),故有
(3)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),可設(shè)直線l的方程為x=a(a≠O).由于直線l,曲線C關(guān)于x軸
對(duì)稱(chēng),且ll1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),于是M1M2,M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為(a,0),
所以△OM1M2,△OM3M4的重心坐標(biāo)都為(,0),即它們的重心重合.
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=mx+n(n≠O),
,得(4-m2)x2-2mnx-n2-20=0,
由直線l與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn),可知4-m2≠0,且
△=(2mn)2+4(4-m2)(n2+20)>0…(1分)
設(shè)M1,M2的坐標(biāo)分別為(xl,y1),(x2,y2).
則xl+x2=,y1+y2═m (xl+x2)+2n
設(shè)M3,M4的坐標(biāo)分別為(x3,x4),(x4,y4).
,得x3=,x3=
從而x3+x4==x1+x2
所以y3+y4=m (x3+x4)+2n=m (x1+x2)+2n=y1+y2
所以==
于是AOM1 M2的重心與△OM3M4的重心也重合.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.考查了學(xué)生分析推理和數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,直線ll:y=2x與直線l2:y=-2x之間的陰影區(qū)域(不含邊界)記為w,其左半部分記為w1,右半部分記為W2
(1)分別用不等式組表示w1和w2
(2)若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到l1,l2的距離之積等于4,求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(3)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線l與曲線C相交于Ml,M2兩點(diǎn),且與ll,l2如分別交于M3,M4兩點(diǎn).求證△OMlM2的重心與△OM3M4的重心重合.
【三角形重心坐標(biāo)公式:△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(xl,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的重心坐標(biāo)為(
x1+x2+x3
3
y1+y2+y3
3
)】

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