Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，且橢圓C與橢圓的離心率相同，過F₁的直線交橢圓C于A，B兩點，且△ABF₂的周長為，那么橢圓C的方程為________．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，△ABF₂的周長為，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=，結(jié)合橢圓的定義，有4a=，即可得a的值；又由橢圓的離心率，可得c的值，進而可得b的值；由橢圓的焦點在x軸上，可得橢圓的方程．
解答：根據(jù)題意，△ABF₂的周長為，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=；
根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有4a=，即a=；
橢圓的離心率為，即=，則a=c，
將a=c，代入可得，c=1，則b²=a²-c²=1；
則橢圓的方程為；
故答案為：
點評：本題考查橢圓的性質(zhì)，此類題型一般與焦點三角形聯(lián)系，難度一般不大；注意結(jié)合橢圓的基本幾何性質(zhì)解題即可．