Question

已知函數(shù)f（x）=

sinx-cosx-2x2+x-1

2x2+cosx+1

的最大值是M，最小值為N，則M，N有什么關(guān)系？

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把已知函數(shù)化簡可得f（x）=

sinx+x

2x2+cosx+1

-1，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

sinx+x

2x2+cosx+1

，利用定義可知g（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，即最值和為0，而g（x）取最大值（最小值）時f（x）取最小值（最大值），整體代入求值．

解答： 解：∵f（x）=

sinx-cosx-2x2+x-1

2x2+cosx+1

=

sinx+x

2x2+cosx+1

-1
令g（x）=

sinx+x

2x2+cosx+1

，
則f（x）=g（x）-1，g（-x）=

sin(-x)-x

2(-x)2+cos(-x)+1

=-g（x），
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，最大值與最小值也關(guān)于原點對稱，
即函數(shù)g（x）的最值的和為0．
∵f（x）=g（x）-1，
∴M+m=g（x）_min-1+g（x）_max-1=-2．

點評：本題考查了利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶像解決函數(shù)的最值問題，解題時，不是把最大及最小值分別求出，而是利用整體思想求解，要靈活運用該方法．