Question

20．已知m、n、s、t∈R^*，m+n=4，$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$=9其中m、n是常數(shù)，且s+t的最小值是$\frac{8}{9}$，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)（m，n）是雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1一弦的中點(diǎn)，則此弦所在直線(xiàn)方程為（　　）

• A． x+4y-10=0
• B． 2x-y-2=0
• C． 4x+y-10=0
• D． 4x-y-6=0

Answer 1

分析 由題設(shè)中所給的條件，求出點(diǎn)（m，n）的坐標(biāo)，由于此點(diǎn)是其所在弦的中點(diǎn)，故可以用點(diǎn)差法求出此弦所在直線(xiàn)的斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，整理成一般式即可．

解答 解：由已知得s+t=$\frac{1}{9}$（s+t）（$\frac{m}{s}$+$\frac{n}{t}$）=$\frac{1}{9}$（m+n+$\frac{mt}{s}$+$\frac{ns}{t}$）≥$\frac{1}{9}$（m+n+2$\sqrt{mn}$）
=$\frac{1}{9}$（$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$）²，
由于s+t的最小值是$\frac{8}{9}$，
因此$\frac{1}{9}$（$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$）²=$\frac{8}{9}$，即$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$=2$\sqrt{2}$，又m+n=4，
所以m=n=2．
設(shè)以點(diǎn)（m，n）為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=y₁+y₂=4．
又該兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，代入雙曲線(xiàn)方程，兩式相減得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=4，
即所求直線(xiàn)的斜率是4，所求直線(xiàn)的方程是y-2=4（x-2），即4x-y-6=0．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，求解本題的關(guān)鍵有二，一是利用基本不等式與最值的關(guān)系求出參數(shù)的值，一是利用點(diǎn)差法與中點(diǎn)的性質(zhì)求出弦所在直線(xiàn)的斜率，點(diǎn)差法是知道中點(diǎn)的情況下常用的表示直線(xiàn)斜率的方法，其特征是有中點(diǎn)出現(xiàn)，做題時(shí)要善于運(yùn)用．