Question

如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長AB=1，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面PAC；
（3）若二面角E-BD-C為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)OE，得OE∥PA．由此能證明PA∥面BDE．
（2）由線面垂直得PO⊥BD，由正方形性質(zhì)得BD⊥AC，從而BD⊥面PAC．由此能證明面PAC⊥面BDE．
（3）取OC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，由已知條件推導(dǎo)出∠EOF為二面角E-BD-C的平面角，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （1）證明：連結(jié)OE，如圖所示．
∵O、E分別為AC、PC的中點(diǎn)，∴OE∥PA．
∵OE?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥面BDE．
（2）證明：∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC=O，∴BD⊥面PAC．
又∵BD?面BDE，∴面PAC⊥面BDE．
（3）解：取OC中點(diǎn)F，連結(jié)EF．∵E為PC中點(diǎn)，
∴EF為△POC的中位線，∴EF∥PO．
又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD．
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．
∴∠EOF為二面角E-BD-C的平面角，∴∠EOF=30°．
在Rt△OEF中，OF=

1

2

OC=

1

4

AC=

2

4

，
∴EF=OF•tan300=

6

12

，
∴PO=2EF=

6

6

．
∴VP-ABCD=

1

3

×1×

6

6

=

6

18

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查棱錐的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．