Question

設函數f（x）=ax²+lnx．
（Ⅰ）當a=-1時，求函數y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函數y=f（x）的圖象總在直線y=-

1

2

的下方，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（I）利用導數的幾何意義可得切線的斜率，進而得到切線的方程；
（II）利用導數可得函數f（x）的極大值即可得到最大值，進而利用函數y=f（x）的圖象總在直線y=-

1

2

的下方?f(x)max＜-

1

2

即可解出．

解答： 解：（Ⅰ）當a=-1時，由f（x）=-x²+lnx，
可得f/(x)=-2x+

1

x

，
∴f′（1）=-1，∴切線的斜率為-1．
又f（1）=-1，∴切點為（1，-1）．
故所求的切線方程為：y+1=-（x-1），即x+y=0．
（Ⅱ）f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

=

2a(x2+ 1 2a )

x

，x＞0，a＜0．
令f′（x）=0，則x=

- 1 2a

．
當x∈(0，

- 1 2a

]時，f′（x）＞0；當x∈(

- 1 2a

，+∞)時，f′（x）＜0．
故x=

- 1 2a

為函數f（x）的唯一極大值點，
∴f（x）的最大值為f(

- 1 2a

)=-

1

2

+

1

2

ln(-

1

2a

)．
由題意有-

1

2

+

1

2

ln(-

1

2a

)＜-

1

2

，解得a＜-

1

2

．
∴a的取值范圍為(-∞，-

1

2

)．

點評：本題考查了導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性極值與最值、恒成立問題的等價轉化問題等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．