Question

設數列a₁，a₂，…，a₂₀₁₅滿足性質P：a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=0，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₁₅|=1．
（Ⅰ）（�。� 若a₁，a₂，…，a₂₀₁₅是等差數列，求a_n；
（ⅱ）是否存在具有性質P的等比數列a₁，a₂，…，a₂₀₁₅？
（Ⅱ）求證：a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

2015

a2015≤

1007

2015

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ） （�。┯深}意得2015a1+

2015×2014d

2

=0，從而a₁₀₀₈=0，由此結合已知條件能求出a_n；
（ⅱ）當q=1時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₁₅|=|a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅|=0．當q≠1時，a1+a2+a3+…+a2015=

a1(1-q1005)

1-q

≠0．由此能求出不存在滿足性質P的等比數列．
（Ⅱ）由條件知，必有ai＞0，也必有aj＜0 （i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j ），由條件得a_i1+a_i2+…+a_il=

1

2

，a_j1+a_j2+…+a_jm=-

1

2

．由此能證明a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

2015

a2015≤

1007

2015

．

解答： （Ⅰ） （ⅰ）解：設等差數列a1，a2，…，a2015的公差為d，則a1+a2+…+a2015=2015a1+

2015×2014d

2

．
由題意得2015a1+

2015×2014d

2

=0，
所以a₁+1007d=0，即a₁₀₀₈=0．
當d=0時，a1=a2=…=a2015=0，
所以|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₁₅|=0與性質P矛盾；
當d＞0時，由a1+a2+…+a2015=-

1

2

，a₁₀₀₈=0，
得d=

1

1007×1008

，a1=-

1

1008

．
所以an=-

1

1008

+

n-1

1007×1008

=

n-1008

1007×1008

(n=1，2，…，2015)．
當d＜0時，由a1+a2+…+a1007=

1

2

，a₁₀₀₈=0，
得d=-

1

1007×1008

，a1=

1

1008

．
所以an=

1

1008

+

-n+1

1007×1008

=

1008-n

1007×1008

(n=1，2，…，2015)．
綜上所述，an=

n-1008

1007×1008

或an=

1008-n

1007×1008

(n=1，2，…，2015)．
（ⅱ）解：設a1，a2，…，a2015是公比為q的等比數列，
則當q=1時，a₁=a₂=…=a₂₀₁₅，則|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₁₅|=|a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅|=0，
與性質P矛盾．
當q≠1時a1+a2+a3+…+a2015=

a1(1-q1005)

1-q

≠0．
與性質P矛盾．
因此不存在滿足性質P的等比數列a₁，a₂，…，a₂₀₁₅．
（Ⅱ）證明：由條件知，必有ai＞0，也必有aj＜0 （i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j ）．
設ai1，ai2，…，ail為所有ai中大于0的數，aj1，aj2，…，ajm為所有ai中小于0的數．
由條件得a_i1+a_i2+…+a_il=

1

2

，a_j1+a_j2+…+a_jm=-

1

2

．
所以a1+

1

2

a2+…+

1

n

an=(

ai1

i1

+

ai2

i2

+…+

ail

il

)+(

aj1

j1

+

aj2

j2

+…+

ajm

jm

)≤(ai1+ai2+…+ail)+

1

2015

(aj1+aj2+…+ajm)=

1

2

-

1

3010

=

1007

2015

．
∴a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

2015

a2015≤

1007

2015

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查是否存在具有性質P的等比數列的判斷與求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意等差數列和等比數列的性質的合理運用．