Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|，f（x）-m≥0恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）m的最大值為n，解不等式|x-3|-2x≤n+1．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值三角不等式求得 f（x）_min=3，可得m的范圍．
（2）由題意可得|x-3|≤4+2x，分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值，求得x的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|≥|x+1-（x-2）|=3，∴f（x）_min=3，當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，等號(hào)成立．
又 f（x）-m≥0恒成立，∴m≤f（x）_min=3．
（2）∵m的最大值為n=3，不等式|x-3|-2x≤n+1，即|x-3|-2x≤4，即|x-3|≤4+2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜3}\\{3-x≤4+2x}\end{array}\right.$①，或  $\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x-3≤4+2x}\end{array}\right.$②．
解①求得-$\frac{1}{3}$≤x＜3，解②求得x≥3．
綜上可得，不等式|x-3|-2x≤n+1的解集為{x|x≥-$\frac{1}{3}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，屬于中檔題．