Question

（2012•眉山二模）如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=

π

2

，AD=

3

，EF=2．
（1）證明：AE∥平面DCF；
（2）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A-EF-C為

π

3

；
（3）在（2）的條件下，求幾何體ABE-DCF的體積．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，證明四邊形ADGE為平行四邊形，可得AE∥DG，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到AE∥平面DCF；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥FE交FE的延長(zhǎng)線于H，連接AH，證明∠AHB是二面角A-EF-C的平面角，求得BH=BCsin∠BEH=

3 3

2

，即可求得AB的長(zhǎng)；           
（3）連接AF，F(xiàn)B，則幾何體ABE-DCF的體積為V=V_F-ABE+V_F-ABCD，由此可得結(jié)論．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，
可得四邊形BCGE為矩形，又ABCD為矩形
所以AD∥EG且AD=EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形
故AE∥DG
因?yàn)锳E?平面DCF，DG?平面DCF
所以AE∥平面DCF
（2）解：∵平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，∴AB⊥平面BEFC
過(guò)點(diǎn)B作BH⊥FE交FE的延長(zhǎng)線于H，連接AH，∴AH⊥FE．
故∠AHB是二面角A-EF-C的平面角．                        
在Rt△EFG中，因?yàn)镋G=AD=

3

，EF=2，所以∠CFE=60°，GF=1．
∵∠CEF=

π

2

，∴CF=4，∴BE=GC=3
∴BH=BCsin∠BEH=

3 3

2

∴AB=BHtan∠AHB=

3 3

2

×

3

=

9

2

∴當(dāng)AB的長(zhǎng)為

9

2

時(shí)，二面角A-EF-C為

π

3

．                     
（3）解：連接AF，F(xiàn)B，則幾何體ABE-DCF的體積為V=V_F-ABE+V_F-ABCD=

1

3

×

1

2

×

9

2

×3×

3

+

1

3

×

9

2

×

3

×4=

33 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查幾何體體積的計(jì)算，屬于中檔題．