Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|，g（x）=k（x-7）
（1）畫出f（x）的簡圖；
（2）若方程f（x）=g（x）有三個(gè)不等實(shí)根，求k值的集合；
（3）如果x∈[-1，5]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=k（x-7）的下方，試求出k值的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將函數(shù)y=x²-4x-5的圖象x軸下方的圖象翻折到x軸上方，保持x軸上方的圖象不變，可得函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|的圖象；
（2）方程f（x）=g（x）有三個(gè)不等實(shí)根，即函數(shù)f（x），g（x）的圖象有且只有三個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)（1）中函數(shù)圖象及g（x）=k（x-7）圖象恒過（7，0）點(diǎn)，可知直線y=k（x-7）與拋物線f（x）=-（x²-4x-5），x∈[-1，5]弧段相切時(shí)，滿足要求，進(jìn)而可得答案．
（3）如果x∈[-1，5]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=k（x-7）的下方，由（2）結(jié)合（1）中圖象可得：k＜-2．

解答： 解：（1）將函數(shù)y=x²-4x-5的圖象x軸下方的圖象翻折到x軸上方，
保持x軸上方的圖象不變，
可得函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|的圖象如下：

（2）x∈[-1，5]時(shí)，f（x）=-（x²-4x-5），
令-（x²-4x-5）=k（x-7），則x²+（k-4）x-7k-5=0，
當(dāng)△=（k-4）²+4（7k+5）=（k+2）（k+18）=0時(shí)，直線y=k（x-7）與拋物線f（x）=-（x²-4x-5），x∈[-1，5]弧段相切，
解得：k=-2或k=-18．
當(dāng)k=-2時(shí)，解得x=3，滿足要求，
當(dāng)k=-18時(shí)，解得x=11，不滿足要求，
∴k=-2時(shí)直線y=k（x-7）與拋物線f（x）=-（x²-4x-5），x∈[-1，5]弧段相切于點(diǎn)（3，8）
同時(shí)，直線y=k（x-7）與拋物線f（x）=-（x²-4x-5），x∉[-1，5]部分相交于不同兩點(diǎn)．
由圖形可知，直線y=k（x-7）繞點(diǎn)（7，0）轉(zhuǎn)動時(shí)，除k=-2外的所有直線與圖象無公共點(diǎn)或有兩個(gè)公共點(diǎn)或有四個(gè)公共點(diǎn)．故k=-2為所求．
故滿足條件的k值的集合為{-2}．
（3）如果x∈[-1，5]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=k（x-7）的下方，
由（2）結(jié)合（1）中圖象可得：k＜-2

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對折變換，方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．