Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，又f（3）=-2．
（1）試判定該函數(shù)的奇偶性；
（2）試判斷該函數(shù)在R上的單調(diào)性；
（3）求f（x）在[-12，12]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）取x=y=0有f（0）=0，取y=-x可得，f（-x）=-f（x）；
（2）設(shè)x₁＜x₂，由條件可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，從而可得結(jié)論；
（3）根據(jù)函數(shù)為減函數(shù)，得出f（12）最小，f（-12）最大，關(guān)鍵是求出f（12）=f（6）+f（6）=2f（6）=2[f（3）+f（3）]=4f（3）=-8，問(wèn)題得以解決

解答： 解　（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）為R上的減函數(shù)，
（3）∵f（x）在[-12，12]上為減函數(shù)，
∴f（12）最小，f（-12）最大，
又f（12）=f（6）+f（6）=2f（6）=2[f（3）+f（3）]=4f（3）=-8，
∴f（-12）=-f（12）=8，
∴f（x）在[-12，12]上的最大值是8，最小值是-8

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性及函數(shù)的最值，賦值法是解決抽象函數(shù)的常用方法，屬于中檔題．