Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣ +3（﹣1≤x≤2）．
（1）若λ= 時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值是1，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： （﹣1≤x≤2）

設(shè) ，得g（t）=t2﹣2λt+3（ ）．

當 時， （ ）．

所以 ， ．

所以 ， ，

故函數(shù)f（x）的值域為[ ， ]

（2）解：由（1）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（ ）

①當 時， ，

令 ，得 ，不符合舍去；

②當 時， ，

令﹣λ2+3=1，得 ，或 ，不符合舍去；

③當λ＞2時，g（t）min=g（2）=﹣4λ+7，

令﹣4λ+7=1，得 ，不符合舍去．

綜上所述，實數(shù)λ的值為

【解析】（1）化簡 （﹣1≤x≤2），再利用換元法得g（t）=t2﹣2λt+3（ ）；從而代入λ= 求函數(shù)的值域；（2）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（ ），討論λ以確定函數(shù)的最小值及最小值點，從而求λ．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值域和函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值才能正確解答此題．