【題目】已知函數(shù)x3x22xaR.

1)當a=3時,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;

2)若對于任意x都有成立,求實數(shù)a的取值范圍;

3)若過點可作函數(shù)圖象的三條不同切線,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】1)(﹣∞,1)和(2,+∞);(2)(﹣1,8);(3)(2,+∞).

【解析】

1)當a=3時,,得=x2+3x2,則由0求解.

2)由,得,根據(jù)對于任意x[1+∞)都有2a1)成立,則轉化為,對于任意x[1,+∞)都有[]max2a1.因為,再利用二次函數(shù)的圖象和性質求解.

3)設點是函數(shù)y=fx)圖象上的切點,過點P的切線方程為. 根據(jù)點在切線上,整理得.,根據(jù)過點可作函數(shù)y=fx)圖象的三條不同切線,則方程有三個不同的實數(shù)解,再令,要求函數(shù)y=gt)與t軸有三個不同的交點即可.

1)當a=3時,,得=x2+3x2.

因為0,得x1x2,

所以函數(shù)fx)單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣1)和(2,+∞.

2)由,得,

因為對于任意x[1+∞)都有2a1)成立,

所以問題轉化為,對于任意x[1+∞)都有[]max2a1.

因為,其圖象開口向下,對稱軸為.

①當時,即a2時,f'x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,

所以max==a3,

a32a1),得a1,此時﹣1a2.

②當時,即a2時,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

所以,

,得0a8,此時2a8.

綜上①②可得,實數(shù)a的取值范圍為(﹣1,8.

3)設點是函數(shù)y=fx)圖象上的切點,

則過點P的切線的斜率為k==t2+at2,

所以過點P的切線方程為.

因為點在切線上,

所以

.

若過點可作函數(shù)y=fx)圖象的三條不同切線,

則方程有三個不同的實數(shù)解.

,則函數(shù)y=gt)與t軸有三個不同的交點.

=2t2at=0,解得t=0.

因為,,

所以必須,即a2.

所以實數(shù)a的取值范圍為(2+∞.

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