Question

已知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對(duì)于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0；
（1）驗(yàn)證函數(shù)f(x)=ln

1-x

1+x

是否滿足這些條件；
（2）從奇偶性和單調(diào)性的角度考慮，這樣的函數(shù)f（x）還具有什么樣的性質(zhì)？將它寫出來(lái)，并加以證明；
（3）若f(-

1

2

)=1，試解方程f(x)=-

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域．利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，計(jì)算f（x）+f（y）與f(

x+y

1+xy

)并加以對(duì)照，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及當(dāng)x＜0時(shí)f（x）為正數(shù)，可得答案．
（2）令x=y=0求得f（0）的值，再令y=-x，利用奇偶性的定義可得函數(shù)是（-1，1）上的奇函數(shù)．由f（x）-f（y）=f(

x-y

1-xy

)及當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞0，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義證明，可得f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
（3）根據(jù)（2）中函數(shù)的奇偶性，將f（-

1

2

）=1化為f（

1

2

）=-1，進(jìn)而根據(jù)f（x）+f（y）=f(

x+y

1+xy

)將抽象不等式具體化，得到關(guān)于x的方程，解之可得答案．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

可得-1＜x＜1，即其定義域?yàn)椋?1，1）
f(x)+f(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln(

1-x

1+x

•

1-y

1+y

)
=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=f(

x+y

1+xy

)
又∵當(dāng)x＜0時(shí)，1-x＞1+x＞0，
∴

1-x

1+x

＞1可得ln

1-x

1+x

＞0
∴f(x)=ln

1-x

1+x

滿足這些條件．
（2）結(jié)論：函數(shù)f（x）是（-1，1）上的奇函數(shù)且是（-1，1）上的單調(diào)減函數(shù)．
證明如下
∵f（0）+f（0）=f（0），可得f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0，得f（-x）=-f（x）
因此，f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)，
∴當(dāng)-1＜x＜y＜1時(shí)

x-y

1-xy

＜0，由條件知f(

x-y

1-xy

)＞0，可得f（x）-f（y）＞0
∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
（3）∵f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)，f(-

1

2

)=1
∴f(

1

2

)=-1，方程f(x)=-

1

2

即2f（x）=-1
∵2f（x）=f（x）+f（x）=f(

2x

1+x2

)，f（x）在（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)，
∴由f(

2x

1+x2

)=-1，得

2x

1+x2

=

1

2

，解之得x=2±

3

，
由于2+

3

∉（-1，1），故x=2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)滿足的條件，求函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性并解關(guān)于x的方程．著重考查了函數(shù)的定義、函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)和賦值法研究抽象函數(shù)的等知識(shí)，屬于中檔題．