Question

已知復(fù)數(shù)-1+3i、cosα+isinα（0＜α＜

π

2

，i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點依次為A、B，點O是坐標(biāo)原點．
（1）若OA⊥OB，求tanα的值；
（2）若B點的橫坐標(biāo)為

4

5

，求S_△AOB．

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算,復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

專題：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)

分析：（1）由已知得到A，B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得

OA

，

OB

的坐標(biāo)，由OA⊥OB得

OA

•

OB

=0，代入坐標(biāo)后整理可得tanα的值；
（2）由已知求出|OA|，|OB|，由兩角差的正弦求得sin∠AOB，代入三角形的面積公式得答案．

解答： 解：（1）由題可知：A（-1，3），B（cosα，sinα），
∴

OA

=(-1，3)，

OB

=(cosα，sinα)，
由OA⊥OB，得

OA

•

OB

=0，
∴-cosα+3sinα=0，
∴tanα=

1

3

；
（2）由（1）|OA|=

10

，記∠AOx=β，β∈(

π

2

，π)，
∴sinβ=

3

10

=

3 10

10

，cosβ=-

1

10

=-

10

10

，
∵|OB|=1，cosα=

4

5

，得sinα=

1-cos2α

=

3

5

，
sin∠AOB=sin（β-α）=

3 10

10

×

4

5

+

10

10

×

3

5

=

3 10

10

．
∴S_△AOB=

1

2

|AO|•|BO|sin∠AOB=

1

2

×

10

×1×

3 10

10

=

3

2

．

點評：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角差的正弦，是中檔題．