Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-3，$\overrightarrow{a}$=（2$\sqrt{3}$sinx，4），$\overrightarrow$=（2cosx，cos²x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及此時x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，若f（A）為f（x）的最大值，且a=2，sinC=$\sqrt{3}$sinB，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得函數(shù)解析式f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得最大值及此時x的值．
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可得：A=$\frac{π}{6}$．利用正弦定理及sinC=$\sqrt{3}$sinB，可得c=$\sqrt{3}b$，由余弦定理可得b，c，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-3=4$\sqrt{3}$sinxcosx+4cos²x-3
=2$\sqrt{3}$sin2x+4×$\frac{1+cos2x}{2}$-3
=2$\sqrt{3}$sin2x+2cos2x-1
=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1…4分
所以，當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z時，f（x）取得最大值3，此時，x=k$π+\frac{π}{6}$，k∈Z…6分
（Ⅱ）∵f（A）為f（x）的最大值及A∈（0，π），由（Ⅰ）可得：A=$\frac{π}{6}$…7分
∵sinC=$\sqrt{3}$sinB，∴c=$\sqrt{3}b$，
由余弦定理可得：${a}^{2}=^{2}+3^{2}-2\sqrt{3}^{2}cosA$，把A=$\frac{π}{6}$，a=2代入解得：b=2，可得c=2$\sqrt{3}$．
∴△ABC的面積s=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$…12分

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．