Question

某公司為了實現(xiàn)1 000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（萬元）隨銷售利潤x（萬元）的增加而增加，但獎勵總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x,y=log₇x+1,y=1.002^x，其中哪個模型能符合公司要求？

Answer 1

思路解析：某個獎勵模型符合公司要求，即當x∈［10,1 000］時，能夠滿足y≤5，且≤25%，可以先從函數(shù)圖象得到初步的結論，再通過具體計算，確認結果.

解：借助計算器或計算機作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log₇x+1,y=1.002^x的圖象如圖所示：

觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間［10,1 000］上模型y=0.25x,y=1.002^x的圖象都有一部分在y=5的上方，這說明只有按模型y=log₇x+1進行獎勵才能符合公司要求，下面通過計算確認上述判斷.

首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬.

對于模型y=0.25x，它在區(qū)間［10,1 000］上是單調遞增的，當x∈(20,1 000)時，y>5，因此該模型不符合要求.

對于模型y=1.002^x，利用計算器可知1.002⁸⁰⁶≈5.005，由于y=1.002^x是增函數(shù)，故當x∈(806,1 000］時，y>5，因此，也不符合題意.

對于模型y=log₇x+1，它在區(qū)間［10,1 000］上單調遞增，且當x=1 000時，y=log₇1 000+1≈4.55＜5，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.

再計算按模型y=log₇x+1獎勵時，獎金是否超過利潤x的25%，即當x∈［10,1 000］時，利用計算器或計算機作f(x)=log₇x+1-0.25x的圖象，由圖象可知f(x)是減函數(shù)，因此f(x)＜f(10)≈-0.316 7＜0，即log₇x+1＜0.25x.

所以當x∈［10,1 000］時，y＜0.25x.

這說明，按模型y=log₇x+1獎勵不超過利潤的25%.

綜上所述，模型y=log₇x+1確實符合公司要求.