Question

（本小題滿分14分）

已知雙曲線：和圓：（其中原點(diǎn)為圓心），過雙曲線上一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、．

（1）若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；

（2）求直線的方程；

（3）求三角形面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image001.png">，所以，所以．…………………1分

由及圓的性質(zhì)，可知四邊形是正方形，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image008.png">，所以，所以．……………3分

故雙曲線離心率的取值范圍為．…………………………………………………………4分

（2）方法1：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image013.png">，

所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為．………5分

因?yàn)閳A與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，……………………………………………6分

所以聯(lián)立方程組………………………………………………7分

消去，，即得直線的方程為．………………………………………………8分

方法2：設(shè)，已知點(diǎn)，

則，．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image030.png">，所以，即．…………………………………………5分

整理得．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image034.png">，所以．……………………………………………………………6分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image036.png">，，根據(jù)平面幾何知識可知，．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image039.png">，所以．………………………………………………………………………7分

所以直線方程為．

即．

所以直線的方程為．………………………………………………………………8分

方法3：設(shè)，已知點(diǎn)，

則，．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image030.png">，所以，即．…………………………………………5分

整理得．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image034.png">，所以．……6分

這說明點(diǎn)在直線上． …………7分

同理點(diǎn)也在直線上．

所以就是直線的方程． ……8分

（3）由（2）知，直線的方程為，

所以點(diǎn)到直線的距離為．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image048.png">，

所以三角形的面積．……………………………………10分

以下給出求三角形的面積的三種方法：

方法1：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，

所以，即．

設(shè)，

所以．…………………………………………11分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image058.png">，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．……………………………………12分

當(dāng)，即時，，…………………………………13分

當(dāng)，即時，．

綜上可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，． 14分

方法2：設(shè)，則．…………………………11分

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，即，即．

所以．

令，則．

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．………12分

當(dāng)，即時，，………13分

當(dāng)，即時，．

綜上可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，．………14分

方法3：設(shè)，則．…………11分

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，即，即．

所以．

令，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．………………………………12分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051820025664066734/SYS201205182003565312720400_DA.files/image088.png">，所以，

當(dāng)，即時，，此時．……13分

當(dāng)，即時，，此時．

綜上可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，．…

【解析】略