Question

（本題滿分12分）

    已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。如果a，b，c能夠作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形的最大角是最小角的2倍，求所有滿足條件的集合A。

 

Answer 1

【答案】

A=｛4,5,6｝ 

【解析】解法一：依題意，不妨設(shè)，對(duì)應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角是

由正弦定理，        …………………………4分

所以               …………………………6分

由余弦定理，  ……………8分

即 化簡(jiǎn)，得：             

所以，不合題意，舍去。

，三角形的三邊長(zhǎng)為4,5,6.             …………………………10分

可以驗(yàn)證此三角形的最大角是最小角的2倍。 …………………………11分

故：A=｛4,5,6｝                           …………………………12分

解法二：先考慮三角形應(yīng)滿足的第一個(gè)性質(zhì)：三邊是連續(xù)的自然數(shù)

⑴三邊長(zhǎng)不可能是1,2,3，因?yàn)?+2=3而三角形的任何兩邊之和都大于第三邊；

                                              …………………………1分

⑵如果三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別是a=2，b=3，c=4

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052308060950007543/SYS201205230808150000193632_DA.files/image010.png">，

       

此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是所以2A≠C從而三邊

長(zhǎng)分別是a=2，b=3，c=4不符合條件。           …………………………3分

⑶如果三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別是a=3，b=4，c=5，此三角形是直角三角形，最大角是90⁰，最小角不等于45⁰，此三角形不滿足條件。  …………………………5分

⑷如果三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別是a=4，b=5，c=6，此時(shí)

，，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052308060950007543/SYS201205230808150000193632_DA.files/image017.png">，所以2A=C

故三邊長(zhǎng)分別是a=4，b=5，c=6滿足條件。     …………………………8分

   ⑸當(dāng)n>4時(shí)，三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別是a=n，b=n+1，c=n+2時(shí)，三角形的最小角是A，最大角是C，

隨n的增大而減小，A隨之增大，隨n的增大而增大，C隨之減小。由于n=4時(shí)有2A=C，所以n>4時(shí)不可能有2A=C。      …………………………11分

總上可知，只有邊長(zhǎng)分別為4,5,6的三角形滿足條件，即A=｛4,5,6｝  …………12分