Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期為π，且圖象上一個最低點為M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
 （2）當x∈[0，

π

12

]時，求函數f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）結合周期公式T=

2π

ω

=π，可求得ω，由f_min（x）=-2可得A，由f（x）的最低點為M（

2π

3

，-2），代入函數解析式，結合0＜φ＜

π

2

可求φ
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由0≤x≤

π

12

 可求2x+

π

6

的范圍，結合正弦函數的性質可求函數的最值

解答：解：（1）由T=

2π

ω

=π，可得ω=2
又由f_min（x）=-2可得A=2
∵f（x）的最低點為M（

2π

3

，-2）
∴sin（

4π

3

+φ）=-1
∵0＜φ＜

π

2

∴

4π

3

＜

4π

3

+φ＜

3π

2

∴

4π

3

+φ=

3π

2

∴φ=

π

6

∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（2）∵0≤x≤

π

12

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

3

∴當2x+

π

6

=

π

6

，即x=0時，f_min（x）=2sin

π

6

=1
當2x+

π

6

=

π

3

，即x=

π

12

時，f_max（x）=2sin

π

3

=

3

點評：本題主要考查了由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解函數的解析式，其一般步驟：由函數的周期求解ω，由函數的最值點求解A，最后由函數的圖象上的一點（一般用最值點）求φ，從而求出函數的解析式．