Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，，n∈N^*，則
（1）a₃=    ；
（2）S₁+S₂+…+S₁₀₀=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）把給出的數(shù)列遞推式先分n=1和n≥2討論，由此求出首項和n≥2時的關(guān)系式．對此關(guān)系式再分n為偶數(shù)和奇數(shù)分別得到當(dāng)n為偶數(shù)和奇數(shù)時的通項公式，則a₃可求；
（2）把（1）中求出的數(shù)列的通項公式代入，n∈N^*，則利用數(shù)列的分組求和和等比數(shù)列的前n項和公式可求得結(jié)果．
解答：解：由，n∈N^*，
當(dāng)n=1時，有，得．
當(dāng)n≥2時，．
即．
若n為偶數(shù)，則．
所以（n為正奇數(shù)）；
若n為奇數(shù)，則=．
所以（n為正偶數(shù)）．
所以（1）．
故答案為-；
（2）因為（n為正奇數(shù)），所以-，
又（n為正偶數(shù)），所以．
則．
，．
則．
…
．
所以，S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₉₉+S₁₀₀
=
=
=
=．
故答案為．
點評：本題考查了數(shù)列的求和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答此題的關(guān)鍵在于當(dāng)n為偶數(shù)時能求出奇數(shù)項的通項，當(dāng)n為奇數(shù)時求出偶數(shù)項的通項，此題為中高檔題．