Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）是否存在實數(shù)，對任意的， ，且，有恒成立，若存在求出的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）存在實數(shù).

【解析】試題分析：（1）可得在上遞減，在上遞增，因此在時取得最小值；（2）討論三種情況: ， ， ,分別由得增區(qū)間， 得減區(qū)間；（3）恒成立等價于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，即是函數(shù)在為增函數(shù)，只需恒成立，可得，即， .

試題解析：（1）顯然函數(shù)的定義域為，

當(dāng)時， ．

∴當(dāng)時， ， 時， ．

∴在時取得最小值，其最小值為．

（2）∵，

∴①當(dāng)時，若時， ， 為增函數(shù)；

時， ， 為減函數(shù)； 時， ， 為增函數(shù)．

②當(dāng)時， ， 為增函數(shù)；

③當(dāng)時， 時， ， 為增函數(shù)；

時， ， 為減函數(shù)；

時， ， 為增函數(shù)．

（3）假設(shè)存在實數(shù)使得對任意的， ，且，有，

即．

令，只要在為增函數(shù)，又函數(shù)．

考查函數(shù)．

要使在恒成立，只要，即，

故存在實數(shù)時，對任意的， ，且，有恒成立．