Question

4．已知x₁，x₂是函數(shù) f（x）=2sinx+cosx-m在[0，π]內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，則sin（x₁+x₂）=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由題意可得 m=2sinx₁+cosx₁=2sinx₂+cosx₂，即 2sinx₁-2sinx₂=cosx₂-cosx₁，運(yùn)用和差化積公式和同角的基本關(guān)系式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：∵x₁，x₂是函數(shù) f（x）=2sinx+cosx-m在[0，π]內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，
即 x₁，x₂是方程2sinx+cosx=m在[0，π]內(nèi)的兩個(gè)解，
∴m=2sinx₁+cosx₁=2sinx₂+cosx₂，∴2sinx₁-2sinx₂=cosx₂-cosx₁，
∴2×2×cos$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$ sin$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{2}$=-2sin$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$sin$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{2}$，∴2cos$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=sin$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，
∴tan$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=2，∴sin（x₁+x₂）=$\frac{2tan（\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}）}{1{+tan}^{2}\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)零點(diǎn)問題的解法，考查三角函數(shù)的恒等變換，同角基本關(guān)系式的運(yùn)用，屬于中檔題．