已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過右焦點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為.
求證: 為定值.

（1）；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）由點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)可知，在直角三角形中已知，從而可得。因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/54/c/lxutv.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.（2）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程，設(shè)點(diǎn)即為方程的兩根，可得根與系數(shù)的關(guān)系。由斜率公式可分別求得直線和直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可得兩直線方程。直線和直線分別與直線聯(lián)立，求交點(diǎn)。根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)斜率公式求。即可證得為定值。
解：（1）由條件可知，                                     2分
故所求橢圓方程為.                                 4分
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：.                     5分
由可得：           6分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，即恒成立.
設(shè)點(diǎn)，則
.                        8分
因?yàn)橹本�的方程為：，
直線的方程為：，                    9分
令，可得，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo).                       10分
直線的斜率為


             12分

                            
所以為定值.                                    13分
考點(diǎn)：1橢圓的簡單性質(zhì)及方程；2直線與橢圓的位置關(guān)系；

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,已知,且.
(1)求的方程;
(2)過點(diǎn)作的不垂直于軸的弦,為的中點(diǎn),當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí),求四邊形面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（12分）（2011•福建）如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點(diǎn)A．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，到點(diǎn)的距離為，且．直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、(，都在軸上方)，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線方程；
（3）對于動直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的方程為，直線的方程為，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）已知，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的動點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)、是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線與軸正半軸交點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形．試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知直線： 和橢圓，橢圓C的離心率為，連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)形成四邊形的面積為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為P，M為橢圓C上的動點(diǎn)，求線段PM長度的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn).
（1）求曲線的方程；
（2）試探究和的比值能否為一個(gè)常數(shù)？若能，求出這個(gè)常數(shù)，若不能，請說明理由；
（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（2011•浙江）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心為點(diǎn)M
（1）求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；
（2）已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點(diǎn)，若過M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)Ｐ是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)Ｄ是Ｐ在軸上投影，Ｍ為PD上一點(diǎn)，且．

（1）當(dāng)P在圓上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度．

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