Question

【題目】設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在，使得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱(chēng)為上的單峰函數(shù)，為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間稱(chēng)為含峰區(qū)間，其含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為：．

（1）判斷下列函數(shù)中，哪些是“上的單峰函數(shù)”？若是，指出峰點(diǎn)；若不是，說(shuō)出原因；；

（2）若函數(shù)是上的單峰函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)是區(qū)間上的單峰函數(shù)，證明：對(duì)于任意的，若，則為含峰區(qū)間；若，則為含峰區(qū)間；試問(wèn)當(dāng)滿(mǎn)足何種條件時(shí)，所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于0.6．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）畫(huà)出四個(gè)函數(shù)圖像，根據(jù)圖像集合單峰函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.

（2）利用的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（3）分成、兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，利用反證法證得結(jié)論成立.根據(jù)含峰區(qū)間的長(zhǎng)度的概念列不等式，由此確定滿(mǎn)足的條件.

（1）①圖像如下圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸為，由圖可知，是上的單峰函數(shù)，峰點(diǎn)為；

②的圖像如下圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸為，由圖可知，是上的單峰函數(shù)，峰點(diǎn)為；

③的圖像如下圖所示，根據(jù)圖像可知，不是上的單峰函數(shù)；

④的圖像如下圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸為，由圖可知，是上的單峰函數(shù)，峰點(diǎn)為.

（2）函數(shù)是上的單峰函數(shù)，令，解得，故時(shí)，遞增，時(shí)，遞減，所以，解得，故的取值范圍是.

（3）設(shè)為的峰點(diǎn)，則由單峰函數(shù)定義可知，在上遞增，在上遞減.

當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則，從而，與矛盾，所以，即是含峰區(qū)間.

當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則，從而，與矛盾，所以，即是含峰區(qū)間.

在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取，由與或與，確定一個(gè)新的含峰區(qū)間，對(duì)先選擇的，，①，在第一次確定的含峰區(qū)間為的情況下，的取值應(yīng)滿(mǎn)足②，由①②可得，當(dāng)時(shí)，含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為.

由條件，得，從而.因此確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于，只要取.