Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax²-（b-1）x+1，其中a∈（-2，0），b∈R．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，解不等式f（x）+f（-x）+3x＞0；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a-b的取值范圍；
（3）設(shè)b＞1，當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇$\frac{1}{a}，-\frac{1}{a}$]時(shí)，值域?yàn)閇$\frac{3}{2a}$，-3a]，求a，b．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-1時(shí)，不等式可化為-2x²+3x+2＞0，從而解得；
（2）由a∈（-2，0），b∈R知△=（b-1）²-4a＞0，從而可得f（-2）f（-1）＜0，即（4a+2b-1）（a+b）＜0，再設(shè)m=a-b，b=a-m，從而由線性規(guī)劃可得0＜-m$＜\frac{13}{2}$，從而解得；
（3）函數(shù)f（x）=ax²-（b-1）x+1的對(duì)稱軸x=$\frac{b-1}{2a}$＜0，且開口向下，從而討論以確定函數(shù)的最值，從而代入求解即可．

解答 解：∵f（x）=ax²-（b-1）x+1，
∴f（-x）=ax²+（b-1）x+1，
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，
∵f（x）+f（-x）+3x＞0；
∴-2x²+3x+2＞0，
即2x²-3x-2＜0，
解得，$-\frac{1}{2}$＜x＜2；
（2）∵a∈（-2，0），b∈R．
∴△=（b-1）²-4a＞0，
∴函數(shù)f（x）=ax²-（b-1）x+1的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，
∴f（-2）f（-1）＜0，
即（4a+2b-1）（a+b）＜0，
設(shè)m=a-b，b=a-m，

由圖象可得：過（0，0）的直線的截距為0，
過（-2，$\frac{9}{2}$）的直線的截距為$\frac{13}{2}$，
∴0＜-m$＜\frac{13}{2}$，
即-$\frac{13}{2}$＜m＜0，
故a-b的范圍為（-$\frac{13}{2}$，0）；
（3）∵函數(shù)f（x）=ax²-（b-1）x+1，
∴對(duì)稱軸x=$\frac{b-1}{2a}$＜0，
當(dāng)1＜b＜3時(shí)，$\frac{2}{2a}$＜$\frac{b-1}{2a}$，
∴f（$\frac{b-1}{2a}$）=-3a，f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{3}{2a}$，
即（b-1）²-4a+12a²=0，a+b=$\frac{3}{2}$；
解得，a=-$\frac{1}{2}$，b=2；
當(dāng)b≥3時(shí)，$\frac{b-1}{2a}$$＜\frac{2}{2a}$，
∴f（$\frac{1}{a}$）=-3a，f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{3}{2a}$，
即2-b+a+3a²=0，a+b=$\frac{3}{2}$；
無解；
綜上所述，a=-$\frac{1}{2}$，b=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用及線性規(guī)劃的應(yīng)用，同時(shí)考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，屬于中檔題．