Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n，在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，它的第n項是數(shù)列{a_n}的第b_n-1（n≥2）項．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II）是否存在常數(shù)t使數(shù)列{b_n+1}為等比數(shù)列？若存在求出t的值，并求出數(shù)列{b_n}的通項公式，若不存在，請說明理由；
（III）求證：．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
n=1時，a₁=S₁=3，也滿足上式
∴a_n=2n+1
（Ⅱ）解：由已知b_n=a_bn-1=2b_n-1+1（n≥2）
∴b_n+1=2（b_n-1+1）
∴{b_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列
∴存在實數(shù)t=1使數(shù)列{b_n+1}為等比數(shù)列，且b_n+1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-1
（III）證明：∵b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹-1-2（2ⁿ-1）=1＞0，∴b_n+1＞2b_n，
∵b_n=2ⁿ-1≥1，∴
∴T_n==
即T_n＜
∴T_n＜=2-
分析：（Ⅰ）根據數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先確定b_n=a_bn-1=2b_n-1+1（n≥2），從而可得b_n+1=2（b_n-1+1），由此可得結論及數(shù)列{b_n}的通項公式；
（III）先證明，再求和，即可證得結論．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，恰當放縮是關鍵．