Question

已知ABCD是矩形，AD=2AB，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：DF⊥平面PAF；
（Ⅱ）在棱PA上找一點G，使EG∥平面PFD，當PA=AB=4時，求四面體E-GFD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由條件證得 AF⊥FD、PA⊥FD．再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理證得DF⊥平面PAF．
（Ⅱ）過點E，作EH∥FD，交AD于點H，再過H作HG∥PD交PA于G，可得平面EHG∥平面PFD，從而證得EG∥平面PFD．由條件求得三角形EFD的面積，再用等體積法求得四面體E-GFD的體積 V_E-GFD=V_G-EFD=

1

3

×S_△EFD×AG 的值．

解答：（Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，因為AD=2AB，
點F是BC的中點，
∴∠AFB=∠DFC=45°，∴∠AFD=90°，
即 AF⊥FD．
由于PA⊥平面ABCD，∴PA⊥FD．
再根據(jù)PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF．
（Ⅱ）過點E，作EH∥FD，交AD于點H，
則EH∥平面PFD，且AH=

1

4

AD．
再過H作HG∥PD交PA于G，所以GH∥平面PFD，
且AG=

1

4

PA．
所以平面EHG∥平面PFD．
再根據(jù)EG?平面EHG，∴EG∥平面PFD．
當PA=AB=4時，可得DF=

CD2+CF2

=

22+22

=2

2

，EF=

BF2+BE2

=

22+12

=

5

，
ED=

AE2+AD2

=

12+42

=

17

．
△EFD中，由余弦定理求得cos∠EFD=

EF2+DF2-ED2

2EF•FD

=-

10

10

 
∴sin∠EFD=

3 10

10

∴S_△EFD=

1

2

EF•FD•sin∠EFD=3．
故四面體E-GFD的體積 V_E-GFD=V_G-EFD=

1

3

×S_△EFD×AG=

1

3

×3×1=1．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的應用，余弦定理、用等體積法求棱錐的體積，屬于中檔題．