Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-2sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角函數(shù)的二倍角公式進(jìn)行降次，再用輔助角公式合并，利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1，從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期單調(diào)區(qū)間等．

解答： 解：∵sin²x=

1

2

（1-cos2x），
∴f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x+cos2x-1=

2

sin（2x+

π

4

）-1；
（1）f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（2）當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

4

（k∈Z），
即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（3）令sin（2x+

π

4

）=±1，得2x+

π

4

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

8

，
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程是x=

kπ

2

+

π

8

．

點(diǎn)評(píng)：考查了二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式，以及三角函數(shù)周期求法等知識(shí)，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性以及最值．