Question

已知正△ABC邊長(zhǎng)等于

3

，點(diǎn)P在其外接圓上運(yùn)動(dòng)，則

PA

•

PB

的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量的模

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合,平面向量及應(yīng)用

分析：結(jié)合圖形，利用向量數(shù)量積公式把

PA

•

PB

化為三角函數(shù)形式，利用和差化積公式化為一個(gè)角的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的值域求得最大值．

解答： 解：如圖所示．
由正△ABC邊長(zhǎng)等于

3

，點(diǎn)P在其外接圓上運(yùn)動(dòng)．
∴∠AOB=120°，R=

1

2

×

3

sin60°

=1．
∴

PA

•

PB

=（

OA

-

OP

）•（

OB

-

OP

）
=

OA

•

OB

-

OA

•

OP

-

OP

•

OB

+

OP

2
=cos120°-cos∠POB-cos∠AOP+1
=

1

2

-2cos∠AOBcos（

∠AOP-∠BOP

2

）=

1

2

+cos（

∠AOP-∠BOP

2

），
∵cos（

∠AOP-∠BOP

2

）≤1，
∴當(dāng)∠AOP=∠BOP時(shí)，

PA

•

PB

最大，且最大值為

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積公式，正弦定理及三角函數(shù)的和差化積公式，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．