Question

已知點(diǎn)M（x₀，y₀）在圓x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，N（4，0），點(diǎn)P（x，y）為線段MN的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；
（2）求點(diǎn)P（x，y）到直線3x+4y-86=0的距離的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，算出點(diǎn)M（x₀，y₀）即M（2x-4，2y），將M坐標(biāo)代入圓x²+y²=4并化簡，即可得到點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；
（2）根據(jù)P的軌跡是以C（2，0）為圓心、半徑等于1的圓，算出C到已知直線的距離，再分別加上、減去半徑，即可得到點(diǎn)P到已知直線距離的最大值和最小值．

解答：解：（1）根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

2x=x0+4 2y=y0

解得x₀=2x-4，y₀=2y，
∵點(diǎn)M（x₀，y₀）即M（2x-4，2y）在圓x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，
∴M坐標(biāo)代入，得（2x-4）²+4y²=4，
化簡得（x-2）+y²=1，即為點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；
（2）∵點(diǎn)P（x，y）的軌跡是以C（2，0）為圓心，半徑等于1的圓
∴求得C到直線3x+4y-86=0的距離d=

|3×2+0-86|

32+42

=16
可得點(diǎn)P（x，y）到直線3x+4y-86=0的距離的最大值為16+1=17，最小值為16-1=15．

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，求其方程并求點(diǎn)到直線的距離的最值．著重考查了點(diǎn)到直線的距離公式、圓的方程、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和動(dòng)點(diǎn)軌跡的求法等知識(shí)，屬于中檔題．