Question

13．用數學歸納法證明：3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹（n∈N）能被14整除．

Answer 1

分析 用數學歸納法證明整除問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=0時，結論顯然成立，第二步，先假設假設當n=k時結論成立，利用此假設結合因式的配湊法，證明當n=k+1時，結論也成立即可．

解答 證明：（1）當n=0時，3²+5¹=14能被14整除
（2）假設當n=k時，3^4K+2+5^2K+1能被14整除，
則當n=k+1時，
3^4（k+1）+2+5^2（k+1）+1=3⁴（3^4k+2+5^2k+1）-56•5^2k+1．
∵56•5^2k+1能被14整除，3^4K+2+5^2K+1能被14整除，
∴當n=k+1時也成立
由①②知，當n∈N時，3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹能被14整除

點評 本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式：設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立．