2.已知是橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的一點(diǎn),若∠F1PF2=$\frac{π}{3}$,則△F1PF2面積為$\frac{16\sqrt{3}}{3}$.

分析 由橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1可得a,b,c.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=12.△F1PF2中,由余弦定理可得:(2c)2=${m}^{2}+{n}^{2}-2mncos\frac{π}{3}$,化簡(jiǎn)整理即可得出mn,利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.

解答 解:由橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1可得a=6,b=4,c=2$\sqrt{5}$.
設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=12.
△F1PF2中,由余弦定理可得:(2c)2=${m}^{2}+{n}^{2}-2mncos\frac{π}{3}$=(m+n)2-3mn,
∴80=122-3mn,
解得mn=$\frac{64}{3}$.
∴△F1PF2面積=$\frac{1}{2}mnsin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{64}{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$.
故答案為:$\frac{16\sqrt{3}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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(Ⅱ)若直線l:y=kx+m同時(shí)與橢圓C1和曲線${C_2}:{x^2}+{y^2}=\frac{4}{3}$相切,求直線l的方程;
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