Question

【題目】給出下列四個(gè)命題

①已知為橢圓上任意一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是8；

②已知是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，則；

③已知直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與交于，，，兩點(diǎn)，則；

④橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)，經(jīng)橢圓反射后，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，點(diǎn)，是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，若靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑忽略不計(jì)）從點(diǎn)沿直線(xiàn)出發(fā)則經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程恰好是．

其中正確命題的序號(hào)為__（請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

①求得橢圓中的， ，的周長(zhǎng)為：，即可判斷；

②求得雙曲線(xiàn)中的，，，討論在雙曲線(xiàn)的左支或右支上，求得最小值，即可判斷；

③設(shè)出直線(xiàn)的方程，代入拋物線(xiàn)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可判斷；

④可假設(shè)長(zhǎng)軸在，短軸在軸，對(duì)球的運(yùn)動(dòng)方向沿軸向左直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，沿軸向右直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，以及球不沿軸運(yùn)動(dòng)，討論即可.

①由橢圓方程，得，，因為橢圓上任意一點(diǎn)，由橢圓定義知，的周長(zhǎng)為，故①錯(cuò)誤；

②已知是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，且，，是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，若在雙曲線(xiàn)左支上，則，若在雙曲線(xiàn)右支上，則，故②正確；

③直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，設(shè)其方程為，，，將直線(xiàn)代入拋物線(xiàn)的方程可得，由韋達(dá)定理可得，又，則，故③正確；

④假設(shè)長(zhǎng)軸在，短軸在軸，設(shè)為左焦點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，以下分為三種情況：

i．球從 沿軸向左直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，碰到左頂點(diǎn)必然原路反彈，這時(shí)第一次回到路程

是；

ii．球從沿軸向右直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，碰到右頂點(diǎn)必然原路反彈，這時(shí)第一次回到路程

是；

iii．球從不沿軸斜向上（或向下）運(yùn)動(dòng)，碰到橢圓上的點(diǎn)，反彈后經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，再?gòu)椀綑E圓上一點(diǎn)，經(jīng)反彈后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程是；

綜上所述：從點(diǎn)沿直線(xiàn)出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是或或.故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.