Question

8．已知圓心在x軸上的圓C與直線l：4x+3y-6=0切于點(diǎn)M（$\frac{3}{5}$，$\frac{6}{5}$）
（1）求直線12x-5y-1=0被圓C截得的弦長
（2）已知N（2，1），經(jīng)過原點(diǎn)，且斜率為正數(shù)的直線L與圓C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點(diǎn)
（i）求證：$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$為定值
（ii）若|PN|²+|QN|²=24，求直線L的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出圓的方程，再求直線12x-5y-1=0被圓C截得的弦長
（2）（i）設(shè)直線l的方程為y=kx（k＞0），與圓的方程聯(lián)立，可得（1+k²）x²+2x-3=0，利用韋達(dá)定理即可證明；
（ii）若|PN|²+|QN|²=24，利用韋達(dá)定理，求出直線的斜率，即可求直線L的方程．

解答 解：（1）由題意，C（a，0），z\則k_CM=$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{3}{5}-a}$，
∴$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{3}{5}-a}$•（-$\frac{4}{3}$）=-1，∴a=-1，
∴C（-1，0），|CM|=2，即r=2，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+y²=4．
圓心到直線12x-5y-1=0的距離為1，∴所求弦長為2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx（k＞0），與圓的方程聯(lián)立，可得（1+k²）x²+2x-3=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{3}{1+{k}^{2}}$．
（i）$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$為定值；
（ii）|PN|²+|QN|²=$（{x}_{1}-2）^{2}+（{y}_{1}-1）^{2}$+$（{x}_{2}-2）^{2}+（{y}_{2}-1）^{2}$
=$（1+{k}^{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}$-（4+2k）（x₁+x₂）+10=$\frac{12+4k}{1+{k}^{2}}$+16=24，
∴k=1或-$\frac{1}{2}$，
經(jīng)檢驗(yàn)k=1滿足題意，
∴直線L的方程為y=x．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．