Question

如圖，△ABC的三條角平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，求證：∠BOD=∠COE．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：在△AOF中，利用三角形的內(nèi)角和定理，以及角平分線的定義，可以利用∠ACB表示出∠AOF，則∠BOD即可得到，然后在直角△OCE中，利用直角三角形的兩個(gè)內(nèi)角互余以及角平分線的定義，即可利用∠ACB表示出∠COE，從而證得結(jié)論．

解答： 證明：∵∠AFO=∠FBC+∠ACB=

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∠ABC+∠ACB，
∴∠AOF=180°-（∠DAC+∠AF0）
=180°-[

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∠BAC+

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∠ABC+∠ACB]
=180°-[

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2

（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°-[

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2

（180°-∠ACB）+∠ACB]
=180°-[90°+

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∠ACB]
=90°-

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∠ACB，
∴∠BOD=∠AOF=90°-

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∠ACB，
又∵在直角△OCE中，∠COE=90°-∠OCD=90°-

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∠ACB，
∴∠BOD=∠COE．

點(diǎn)評：本題主要考查了角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，正確求得∠AOF是關(guān)鍵．