Question

5．設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象上在不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線斜率分別是k_A，k_B，規(guī)定φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$（|AB|為A與B之間的距離）叫作曲線y=f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”．
若函數(shù)y=x²圖象上兩點(diǎn)A與B的橫坐標(biāo)分別為0，1，則φ（A，B）=$\sqrt{2}$；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為曲線y=e^x上兩點(diǎn)，且x₁-x₂=1，若m•φ（A，B）＜1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式求出y′、點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率k_A，k_B的值，由兩點(diǎn)間的距離公式求出|AB|，求出代入φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$求值即可；
（2）求出y′=e^x，由定義求出兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的“彎曲度”，代入t•φ（A，B）＜1化簡，根據(jù)恒成立求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，y=x²，則y′（x）=2x，且A（0，0），B（1，1），
∴k_A=2×0=0，k_B=2×1=2，且|k_A-k_B|=2，
又|AB|=$\sqrt{（1-0）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
（2）由y=e^x得y′（x）=e^x，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為曲線y=e^x上兩點(diǎn)，且x₁-x₂=1，
∴φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{1+{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）}^{2}}}$，
∵m•φ（A，B）＜1恒成立，∴m|${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}$|＜$\sqrt{1+（{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）}^{2}}$，
則m＜$\frac{\sqrt{1+{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）}^{2}}}{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}$=$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$，
∵$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$＞1，∴m≤1，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]，
故答案為：$\sqrt{2}$；（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩點(diǎn)間的距離公式，以及恒成立問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)函數(shù)的新定義的內(nèi)容進(jìn)行分析、判斷，屬于中檔題．