Question

已知圓C：（x-2）²+y²=1，D是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，直線DA、DB分別切圓C于A、B兩點(diǎn)．
（1）如果，求直線CD的方程；
（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程E；
（3）直線x-y+m=0（m為參數(shù)）與方程E交于P、Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為原點(diǎn)，設(shè)直線OP、OQ的斜率分別為K_OP，K_OQ，試將K_OP•K_OQ表示成m的函數(shù)，并求其最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)E為CD與AB的交點(diǎn)，由，得，，由此能求出直線MQ的方程．
（2）設(shè)E（x，y），D（0，a）由點(diǎn)C，E，D在一條直線上，得，，由△ECB∽△BCD可得：|BC|²=|CE||CD|，由此能求出動(dòng)弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程E．
（3）設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），聯(lián)立和y=x+m得，由此能將K_OP•K_OQ表示成m的函數(shù)，并求其最小值．
解答：解：（1）設(shè)E為CD與AB的交點(diǎn)，由，
可得，
，
由△ECB∽△BCD可得：|CD|=3，
，
所以點(diǎn)D坐標(biāo)為，
∴直線MQ的方程是．
即或
（2）設(shè)E（x，y），D（0，a）由點(diǎn)C，E，D在一條直線上，
得，
∴①
由△ECB∽△BCD可得：|BC|²=|CE||CD|，
即②
由①②消去a得．
（3）設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
聯(lián)立和y=x+m，
得，
則，
將韋達(dá)定理代入得，
且又因?yàn)閳A的方程中x＜2，
所以m≠-2，時(shí)取得最小值，
最小值為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．