Question

設首項為a，公差為d的等差數列前n項的和為A_n，又首項為a，公比為r的等比數列前n項和為G_n，其中a≠0，|r|＜1．令S_n=G₁+G₂+…+G_n，若有

lim

n→∞

(

An

n

-Sn)=a，求r的值．

Answer 1

分析：等比和等差數列的求和公式分別表示出An和Gn，進而表示出

An

n

-Sn，最后求出其極限即可．

解答：解：由題意知G_n=

a(1-rn)

1-r

∴S_n=

1

-1+r

•[a(r +r2+r3…+rn)-(a+a+a…+a)]
=

1

-1+r

(

ar(1-rn)

1-r

-na)
=

a

(-1+r)2

[rⁿ-r-n（-1+r）]
A_n=na+

n(n-1)

2

•d
∴

An

n

-Sn=

1

n

[na+

n(n-1)

2

•d]-

a

(-1+r)2

[rⁿ-r-n（-1+r）]=a+

n-1

2

•d-

a

(-1+r)2

×（rⁿ-r）-

an

1-r

∵

lim

n→∞

(

An

n

-Sn)=a，a≠0，|r|＜1
所以：

d

2

+

a

r-1

=0且

a

(1-r)2

×r+a-

d

2

=a，即

a

(1-r)2

×r-

d

2

=0
∴

a

(1-r)2

×r+

a

r-1

=0，整理得2r-1=0，解得r=

1

2

點評：本題主要考查了等比數列的求和問題．屬基礎題．